Desigualdades.

Introducción

A veces se dan unas condiciones en las que, en lugar de aparecer el signo igual, hay que utilizar otros signos llamados de desigualdad y que ahora recordamos:

       < menor que,  
      > mayor que,   

Las relaciones numéricas que se expresan con estos signos se llaman desigualdades y las relaciones algebraicas correspondientes se llaman inecuaciones. Estos serían unos ejemplos de desigualdades y de inecuaciones:

       a) 3 + 7 > 6                         b) 3 + 7 < 8

      c) x - 1 < 5                         d) x - 1 < x + 5

Lo mismo que ocurre con las igualdades, las desigualdades pueden ser ciertas o falsas. Esta valoración en el caso de las literales puede depender del valor de la variable. En los ejemplos considerados, la primera y la cuarta son ciertas, la segunda falsa, y la tercera depende del valor que le demos a x.

Inecuaciones

Definición:

Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < face="Symbol">£ g(x), f(x) > g(x) o f(x) ³ g(x).

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

5x + 6 <>

5x - 3x < -8 - 6

2x < -14

x < -7

Todos los valores de x menores que -7 (es decir desde -7 hasta -¥ ) satisfacen la inecuación.

Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un numero negativo una inecuacion tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.

3x > -2

-9x <>

x < -2/3

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incognita.

Se resuelven por separado las inecuaciones y se toman como soluciones los intervalos comunes de las soluciones

5x + 6 <>

3x > 2

La solucion de la primera ecuacion es:

5x - 3x < -8 - 6

2x < -14

x < -7

La solucion de la seguna ecuacion es:

3x > -2

x < -2/3

La solucion del sistema sería x < -7.

Inecuaciones de segundo grado.

Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.

x² - 5x + 6 > 0

Las soluciones de la ecuacion x² - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. Por lo tanto x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde -¥ hasta 2, desde 2 hasta 3 y desde 3 hasta ¥ .

x - 2 es negativo para los valores entre -¥ y 2.

x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.

x - 2 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .

x - 3 es negativo para los valores entre -¥ y 2.

x - 3 es negativo para los valores entre 2 y 3.

x - 3 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .

Por lo tanto, multiplicando los signos en los mismos intervalos:

x² -5x + 6 es positivo para los valores entre -¥ y 2.

x² - 5x + 6 es negativo para los valores entre 2 y 3.

x² - 5x + 6 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .

Inecuaciones de grado superior a dos

Se descomponen en inecuaciones de grado uno y dos.

Inecuaciones fraccionarias

Son las inecuaciones en las que tenemos la incognita en el denominador.

Se pasan todos los terminos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a comun denominador.

Despues se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de las ecuaciones de segundo grado). Hay que tener en cuenta que las soluciones que anulan el denominador no valen.

Inecuaciones con valor absoluto

Se resuelven convirtiendo la funcion valor absoluto en dos inecuaciones

|x - 3| > 3

primer grafica y=2x+3

y=mx+b

f(x)=mx+b



Linea recta
eje. y=2x+3


y=2(0)+3=3
y=2(1)+3=5
y=2(2)+3=7
y=2(-1)+3=1
y=2(-1)+3=-1

=-4x+3=1
Pa=(0,3)
Pb=(1,5)
Pc=(2,7)
Pd=(-1,1)
Pe=(-2,-1)