Valor absoluto

En matemática, el valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.

El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales, cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
Valor absoluto de un número real
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real a está definido por:[2]

|a| = \begin{cases} \;\;\;a, & \mbox{si } a \ge 0\\ -a, & \mbox{si } a < 0 \end{cases}

Note que por definición el valor absoluto de a siempre será mayor o igual que cero, y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a corresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde a hasta el número cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.

Propiedades fundamentales

1. |a| ≥ 0 No negatividad
2. |a| = 0 ←→ a = 0 Definición positiva
3. |ab| = |a| |b| Propiedad multiplicativa
4. |a+b| ≤ |a| + |b| Propiedad aditiva

Otras propiedades

1. |-a| = |a| Simetría
2. |a-b| = 0 ←→ a = b Identidad de indiscernibles (equivalente a la definición positiva)
3. |a-b| ≤ |a-c| + |c-b| Desigualdad triangular (equivalente a la propiedad aditiva)
4. |a-b| ≥ ||a| - |b|| (equivalente a la propiedad aditiva)
5. |a/b| = |a| / |b| (si b ≠ 0) Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

* |a| ≤ b ←→ -b ≤ a ≤ b
* |a| ≥ b ←→ a ≥ b \vee b ≤ -a

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

|x-3| \le 9 \iff -9 \le x-3 \le 9
\iff -6 \le x \le 12
Valor absoluto de un número complejo
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

|a| = \sqrt{a^2}

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

z = x + iy\,

con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

|x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

Propiedades

El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

z = x + i y = r (\cos \phi + i \sin \phi ) \,

y

\bar{z} = x - iy

es el conjugado de z, luego podemos ver que:

|z| = r\,

|z| = |\bar{z}|

|z| = \sqrt{z\bar{z}}

Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.

Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

Desigualdades Lineales

Desigualdades Lineales
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son . Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver las siguientes desigualdades:
Ejemplo 1) Resolver: 3 > x - 8.
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3 > x - 8
3 + 8 > x - 8 + 8
11 > x
x < 11
El conjunto solución es: (-∞, 11).
Ejemplo 2) Resolver: 2x-5 < 7

Solución:
2x-5 < 7 desigualdad original
2x-5+5 < 7+5 sumar 5 a ambos miembros
2x < 12 simplificar
½ (2x) < ½ (12) multiplicar a ambos miembros por ½
x < 6 simplificar
El conjunto solución es: (-∞, 6).

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.
Ejemplo 3)

Ejemplo 4) Resolver: -3 ≤ 2-5x ≤ 12

Solución:
-3 ≤ 2-5x ≤ 12 Desigualdad original
-3-2 ≤ 2-5x-2 ≤ 12-2 restar 2
-5 ≤ -5x ≤ 10 Simplificar
- (1/5) (-5) ≥ - (1/5) (-5x) ≥ - (1/5) (10) Multiplicar a ambos miembros por –(1/5) e invertir ambas . desigualdades.
1 ≥ x ≥ -2 Simplificar
El conjunto solución es [-2,1].

Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones (Valor Absoluto)
Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa.
Ejemplo 5) Resolver | 10x - 2| 9
• 10x - 2 -9
10x -9 +2
10x -7
10x/10 -7/10
x -7/10

• 10x - 2 9
10x 9 + 2
10x 11
10x/10 11/10
x 11/10
Ejemplo 6) Resolver: | x-3 | ≤ 2
Solución: usando la segunda propiedad de las desigualdades y los valores absolutos , puede describirse la desigualdad original como la desigualdad doble.
-2 ≤ x - 3 ≤ 2 Escribir como desigualdad doble
-2 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 2 + 3 Sumar 3
1 ≤ x ≤ 5 Simplificar
El conjunto solución de la desigualdad original es [1,5].



Desigualdades Cuadráticas
Ejemplo 7) Resolver: x2 < x+6

Solución:
x2 < x + 6 Desigualdad original
x2 - x - 6 < 0 Escribir en forma usual
(x – 3)(x + 2) < 0 Factorizar
El polinomio x2 - x - 6 tiene los ceros x = -2 y x = 3, por tanto tiene los intervalos prueba (-∞,-2),(-2,3) y (3,∞).
La solución de la desigualdad original es (-2, 3).

inecuación

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.

En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a <> significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b).

Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad). Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.

La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.

Propiedades

Tricotomía

La propiedad de la tricotomía dicta que:

• Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
  • a <>
  • a = b
  • a > b

Simetría

Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:

• Para dos números reales, a y b:
  • Si a > b entonces b <>
  • Si a <> entonces b > a
  • >(mayor que)
  • <(menor que)

Adición y sustración

Las propiedades relacionadas con la adición y la sustracción:

• Para tres números reales, a, b, y c:
  • Si a > b; entonces a + c > b + c y a − c > b − c
  • Si a <>; entonces a + c <> y a − c <>

Multiplicación y división

Las propiedades relativas a la multiplicación y la división:

• Para tres números reales, a, b, y c:
  • Si c es positivo y a > b; entonces a × c > b × c y a / c > b / c
  • Si c es positivo y a <>; entonces a × c <> y a / c <>
  • Si c es negativo y a > b; entonces a × c <> y a / c <>
  • Si c es negativo y a <>; entonces a × c > b × c y a / c > b / c

Nota:

Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad se da la vuelta.