lunes, 1 de diciembre de 2008
jueves, 27 de noviembre de 2008
Valor absoluto
El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales, cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
Valor absoluto de un número real
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real a está definido por:[2]
|a| = \begin{cases} \;\;\;a, & \mbox{si } a \ge 0\\ -a, & \mbox{si } a < 0 \end{cases}
Note que por definición el valor absoluto de a siempre será mayor o igual que cero, y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a corresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde a hasta el número cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.
Propiedades fundamentales
1. |a| ≥ 0 No negatividad
2. |a| = 0 ←→ a = 0 Definición positiva
3. |ab| = |a| |b| Propiedad multiplicativa
4. |a+b| ≤ |a| + |b| Propiedad aditiva
Otras propiedades
1. |-a| = |a| Simetría
2. |a-b| = 0 ←→ a = b Identidad de indiscernibles (equivalente a la definición positiva)
3. |a-b| ≤ |a-c| + |c-b| Desigualdad triangular (equivalente a la propiedad aditiva)
4. |a-b| ≥ ||a| - |b|| (equivalente a la propiedad aditiva)
5. |a/b| = |a| / |b| (si b ≠ 0) Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Otras dos útiles inecuaciones son:
* |a| ≤ b ←→ -b ≤ a ≤ b
* |a| ≥ b ←→ a ≥ b \vee b ≤ -a
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:
|x-3| \le 9 \iff -9 \le x-3 \le 9
\iff -6 \le x \le 12
Valor absoluto de un número complejo
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:
|a| = \sqrt{a^2}
De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma
z = x + iy\,
con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}
Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:
|x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|
De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.
Propiedades
El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si
z = x + i y = r (\cos \phi + i \sin \phi ) \,
y
\bar{z} = x - iy
es el conjugado de z, luego podemos ver que:
|z| = r\,
|z| = |\bar{z}|
|z| = \sqrt{z\bar{z}}
Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.
Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.
Desigualdades Lineales
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son . Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver las siguientes desigualdades:
Ejemplo 1) Resolver: 3 > x - 8.
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3 > x - 8
3 + 8 > x - 8 + 8
11 > x
x < 11
El conjunto solución es: (-∞, 11).
Ejemplo 2) Resolver: 2x-5 < 7
Solución:
2x-5 < 7 desigualdad original
2x-5+5 < 7+5 sumar 5 a ambos miembros
2x < 12 simplificar
½ (2x) < ½ (12) multiplicar a ambos miembros por ½
x < 6 simplificar
El conjunto solución es: (-∞, 6).
Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.
Ejemplo 3)
Ejemplo 4) Resolver: -3 ≤ 2-5x ≤ 12
Solución:
-3 ≤ 2-5x ≤ 12 Desigualdad original
-3-2 ≤ 2-5x-2 ≤ 12-2 restar 2
-5 ≤ -5x ≤ 10 Simplificar
- (1/5) (-5) ≥ - (1/5) (-5x) ≥ - (1/5) (10) Multiplicar a ambos miembros por –(1/5) e invertir ambas . desigualdades.
1 ≥ x ≥ -2 Simplificar
El conjunto solución es [-2,1].
Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones (Valor Absoluto)
Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa.
Ejemplo 5) Resolver | 10x - 2| 9
• 10x - 2 -9
10x -9 +2
10x -7
10x/10 -7/10
x -7/10
• 10x - 2 9
10x 9 + 2
10x 11
10x/10 11/10
x 11/10
Ejemplo 6) Resolver: | x-3 | ≤ 2
Solución: usando la segunda propiedad de las desigualdades y los valores absolutos , puede describirse la desigualdad original como la desigualdad doble.
-2 ≤ x - 3 ≤ 2 Escribir como desigualdad doble
-2 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 2 + 3 Sumar 3
1 ≤ x ≤ 5 Simplificar
El conjunto solución de la desigualdad original es [1,5].
Desigualdades Cuadráticas
Ejemplo 7) Resolver: x2 < x+6
Solución:
x2 < x + 6 Desigualdad original
x2 - x - 6 < 0 Escribir en forma usual
(x – 3)(x + 2) < 0 Factorizar
El polinomio x2 - x - 6 tiene los ceros x = -2 y x = 3, por tanto tiene los intervalos prueba (-∞,-2),(-2,3) y (3,∞).
La solución de la desigualdad original es (-2, 3).
inecuación
Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a <> significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b).
Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad). Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.
La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.
Propiedades
Tricotomía
La propiedad de la tricotomía dicta que:
- Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
- a <>
- a = b
- a > b
Simetría
Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:
- Para dos números reales, a y b:
- Si a > b entonces b <>
- Si a <> entonces b > a
- >(mayor que)
- <(menor que)
Adición y sustración
Las propiedades relacionadas con la adición y la sustracción:
- Para tres números reales, a, b, y c:
- Si a > b; entonces a + c > b + c y a − c > b − c
- Si a <>; entonces a + c <> y a − c <>
Multiplicación y división
Las propiedades relativas a la multiplicación y la división:
- Para tres números reales, a, b, y c:
Nota:
Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad se da la vuelta.
domingo, 9 de noviembre de 2008
El determinante de una matriz cuadrada
El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.
En este curso estudiaremos, sobre todo, los determinantes de orden dos y los de orden tres. Los de orden superior se reducirán a éstos.
1.Determinantes de segundo y tercer orden.
Definición 1. Dada una matriz de orden dos 
Se representa det A ó ½A½.
Ejemplo 1:
Observación. La interpretación geométrica es que es el área orientada del paralelogramo que determinan los vectores (a11, a12) y (a21, a22).
Se puede ver con detalle en Interpretación Geométrica del determinante, usando el applet Descartes.
Definición 2. Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al nº que se obtiene así:
Observar que para calcular el determinante se hacen todos los productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes y luego se suman todos manteniendo el mismo signo o cambiado, según la regla siguiente debida a Sarrus.
Términos positivos Términos negativos
Ejemplo 2. Calcula el valor del determinante de la matriz A =
Aplicando la regla de Sarrus ½A½= 0 + (-4) + 28 - 0 - (-2) -8 = 18
Otra forma práctica de recordar la definición es la siguiente:
Se escriben a la derecha (o debajo) de la matriz las dos primeras líneas. La diagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +, la diagonal secundaria y sus dos paralelas llevan el signo - .
2 0 -3
-1 2 1
Ejercicio 1. Calcula los siguientes determinantes:
a) 
2. Propiedades de los determinantes
Las propiedades que vamos a enunciar son generales para determinantes de cualquier orden. Pueden comprobarse en los de orden dos o tres.
1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir: det A = det At .
(Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas).
2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo.
3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por dicho número.
(Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en un determinante)
Ejemplo 4. El determinante 
Ejercicio 2. Comprueba la afirmación del ejemplo desarrollando por Sarrus.
4. Si todos los elementos de una fila (o columna) son nulos, el determinante también lo es.
5. Si dos filas (o columnas) son iguales (o proporcionales)el determinante es 0.
Ejemplo 5. 
6. Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse también como suma de dos determinantes.
Ejemplo 6:
7. Si una fila o columna es c.l. de las otras su determinante es cero.
Ejemplo 7. 
8. Si a una fila (columna) de una matriz se le suma otra fila (columna) multiplicada por un nºel determinante no varía.
Ejemplo 8: A= 
9. Si una matriz cuadrada es triangular (superior o inferior) su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
Consecuencia: Si I es la matriz identidad su determinante vale 1.
10. El determinante de un producto de matrices (de órdenes iguales) es igual al producto de sus determinantes.
Es decir det AB = det A. det B.
Como consecuencia de esta propiedad:
11. Si $ A-1 entonces ½A½-1 =
En efecto, A.A-1= I , luego 
Ejercicio 3. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes ecuaciones:
a) 
b)
Ejercicio 4. Demostrar[1], sin desarrollar, que son ceros los siguientes determinantes:
a) 
3. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.
Definición 1. Si A = (aij) es una matriz cuadrada de orden n, se llama menor complementario del elemento aij, y se representa Mij, al determinante de la submatriz que se obtiene al suprimir de A la fila i y la columna j.
Ejemplo 9. Sea A=
M21 = 
Definición 2. Se llama adjunto del elemento aij a: Aij = (-1)i+j Mij.
Nota. El adjunto de un elemento es igual a su menor complementario si la suma de subíndices es par, y a su opuesto si es impar.
Ejemplo 10. El adjunto del elemento a21 = -1, de la matriz de ejemplo 1, es A21=25.
Proposición 1 . Un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un línea cualquiera por sus respectivos adjuntos.
Demostración.
(La haremos para los de orden 3)
½A½= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33;
sacando factor común los elementos de la primera fila:
½A½= a11(a22a33-a23a32) + a12(a23a31- a21a33) +a13(a21a32-a22a31), es decir:
½A½= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
Análogamente se haría para cualquier otra línea.
Nota. Esta proposición nos da otra forma de calcular determinantes, se dirá que se ha obtenido su valor desarrollando por los elementos de una línea
Ejemplo 11. Calcula el determinante de A =
Solución.
Desarrollamos por la 2ª fila:
Proposición 2. La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de otra paralela es cero.
Demostración.
Es inmediata pues correspondería al desarrollo de un determinante con dos líneas iguales, y por las propiedades de los determinantes sería 0.
4. Determinantes de orden cualquiera.
Los métodos que vamos a indicar sirven para determinantes de cualquier orden, aunque nos limitaremos en los ejemplos a los de orden 4 o 5.
M1) Triangulación de un determinante
Utilizando la propiedad 9 de los determinantes podemos conseguir un determinante triangular (sup. o inf. ) y, su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal. La técnica para triangular un determinante es similar a la aplicada en el método de Gauss.
Ejercicio 5. Calcula el determinante: D= 
M2) Reducción del orden. Se basa en la Proposición 1.
Nota. Como se puede elegir cualquier línea se tomará aquella que tenga más ceros.
Ejemplo 12. Calcula el valor del determinante D= 
Solución: Desarrollando por la 1ª columna:
D = 1.
Ejercicio 6. Calcula el valor de D, del ejercicio 1, desarrolllando por la 3ª fila.
Observaciones.
Al calcular un determinante de orden 4, por este método, tenemos que calcular cuatro determinantes de orden tres, que, aunque fácil, es laborioso.
En el ejemplo resuelto resultaba muy “oportuno” el que en las columnas haya tantos 0.
M3) Este método se puede considerar una “combinación” de M1 yM2 .
En primer lugar elegimos una línea y hacemos cero todos sus elementos menos uno; después desarrollamos por dicha línea y así sólo hay que calcular un derterminante de orden tres. Este proceso se puede generalizar.
Ejemplo 13. Calcula el valor de D=
Solución
Elegimos la fila 3ª vamos a hacer 0 todos los elementos menos el a33,
Determinante de Vandermonde.
El de orden 4 es de la forma V =
Para conseguir ceros en la 1ª columna, se resta, a cada fila la anterior multiplicada por a, empezando desde abajo .
Nos queda: 
Y da un determinante del mismo tipo pero de orden tres, siguiedo el mismo proceso, 
Luego: V = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).
Ejemplo 14. Calcula el valor de D =
Solución: Sacando factor común a, b, y c obtenemos
D= a.b.c
Pues el determinante que resulta es de Vandermonde.
5. Calculo de la inversa de una matiz cuadrada
Una de las aplicaciones más importantes de los determinantes es que nos da un criterio para decidir cuándo una matriz posee inversa.
Teorema. Una matriz cuadrada A es inversible Û ½A½¹ 0. Además su inversa es:
A-1 =
Demostración .
Es consecuencia inmediata de las proposiciones 1 y 2. (Comprobarlo)
*Este teorema nos da un método para calcular la inversa:
1) Se calcula det A.
Si da 0: A no tiene inversa.
Si da distinto de 0:
2) Se calcula la matriz adjunta de A, adj A, es decir, la que tiene por elementos a los adjuntos de A:
(adj A)=
3) Se traspone la matriz adjunta. (adj A)t
4) Se divide por el determinante de A.
El resultado es la inversa de A. Es decir :
| A-1 = |
Ejemplo 15. Calcula la inversa de la matriz A =
Solución. El determinante de A vale 5, luego tiene inversa.
La matriz adjunta de A es 
Comprobación 
Ejercicio 7. Calcula la inversa[2], caso de que exista, de la matriz:
A=
Aplicaciones a la resolución de sistemas lineales
I)Resolución de sistemas lineales por el método de la inversa.
Sea AX =B (1) un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
Si la matriz de los coeficientes, A, tiene un determinante distinto de cero, entonces será inversible, luego multiplicando ambos miembros de (1) por A-1,obtenemos :
A-1 (AX) = A-1B, de donde:.
| X= A-1B |
(2)
II) Regla de Cramer.
Definición. Un sistema con n ecuaciones lineales y n incógnitas se dice que es de Cramer, cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es ¹0.
Consecuencia. Todo sistema de Cramer es compatible determinado.
En efecto: S1 AX =B es un sistema de Cramer, entonces existe A-1, luego (2) nos da la solución únia.
Regla de C ramer
Veamos la expresión de las soluciones en el caso de n = 3.
La inversa vimos que es:
A-1 =
de donde: x =
que constituye la llamada regla de Cramer.
Ejemplo 16. Resuelve, usando la regla de Cramer[4], el sistema:
Solución
A = 
x =
Ejemplo 17. Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro k:
Solución
A= 
Discusión
· Si - 2k -1
La solución se encuentra usando la regla de Cramer:
x = 
y = 
· Si k = -1/2, el sistema no es de Cramer.
Sustituyendo k por -1/2, obtenemos el sistema:
Para clasificarlo y resolverlo usamos Gauss
luego el sistema es incompatible.
| Conclusión: Si k distinto de -1/2, compatible determinado; si k=-1/2 incompatible. |
Ejercicio 8. Utiliza la regla de Cramer[5] para resolver el siguiente sistema:
x - y + z = 1
2x +3y -2z = -2
Ejercicio 9. Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro k.
¿Para qué valores de k el sistema es de Cramer? Interpreta geométricamente cada caso.
Problema resuelto[6].
Un sistema económico se divide en tres sectores: 1. Agricultura, 2. Industria y 3. Servicios. Se ha estudiado en un determinado año su economía y se ha obtenido la siguiente tabla Input-Output, en miles de millones de pesetas:
|
| comprador | Demanda | output | |||
|
| 1 | 2 | 3 | final(Di) | total | |
| ven | 1 | 9 | 12 | 0 | 12 | 33 |
| de | 2 | 3 | 31 | 6 | 47 | 87 |
| dor | 3 | 1 | 10 | 5 | 31 | 47 |
|
| Si | 20 | 34 | 36 |
| |
|
| input | 33 | 87 | 47 |
| |
El problema que se plantea es: Si el Gobierno desea que la demanda final suba hasta 16 mil millones para la Agricultura, 85 mil millones para la Industria y 65 mil millones para el sector Servicios, ¿cuáles deben se las salidas (outputs) totales para cada sector.?
Solución:
Repasemos el esquema básico de las técnicas del análisis económico input-output, par el supuesto de una economía con sólo tres sectores.
Si xij representa las ventas (outputs) del sector i al sector j, o lo que es lo mismo las compras (inputs) del sector j al sector i; Dj la demanda final y xj la producción del sector j-ésimo, se puede escribir:
xi1 + xi2 + xi3 + Di = xi ; i = 1,2,3
Estas ecuaciones reflejan la igualdad entre la suma de los importes de las ventas a cada sector productivo y a los consumidores finales (demanda final) con la producción de cada sector.
Llamando aij = xij/xj , (coeficientes técnicos) se verifica que xij = aij xj , con lo que nos quedaría:
ai1 x1 + ai2 x2 + ai3x3 + Di = xi ; i = 1,2,3
Si A= (aij) es la matriz tecnológica6, se puede escribir
A
Por tanto (I -A)X=D , multiplicando por (I - A)-1 (la inversa de Leontief), sus dos miembros se obtiene:
| X = (I - A)-1D |
igualdad que permite calcular la producción de cada sector conociendo la demanda final.
Apliquemos a nuestros datos estos resultados.
A = 
Su determinante da 0,393 (comprobarlo) por lo tanto tiene inversa.
Su inversa da: 
Luego X = 
Ejercicios propuestos del tema
1. Resuelve la siguiente ecuación: 
2. Demuestra que los siguientes determinantes son nulos, sin desarrollarlos.
a)
3. Calcula los determinantes 
4. Sea la matriz 
5. Obtener los valores de x, y, z, que verifiquen la siguiente ecuación matricial:
6. Calcula la inversa, caso de que existan, de las matrices siguientes:
a) A = 
7. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica AX = 2B-C
8. 
9. Resolver la ecuación matricial XA = B + C, donde
A = 
10. Determinar una matriz cuadrada de orden 2, con determinante igual a -1, de forma que su inversa coincida con su transpuesta.
6. Obtener, en función de a, b y c el valor del determinante:
11. Calcula el valor de los determinantes:
a) 
12. Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro k:
y resuelve en los casos que sea posible.
13. Sabiendo que 
a) 
14. Calcula el rango[7] de las matrices:
a) 
14. Sea un sistema económico con dos sectores A y B y supongamos que la tabla imput-output es:
|
| Comprador 1 2 | Demanda final | output total | ||
| ven de | 1 | 5 | 3 | 6 | 14 |
| dor | 2
| 4 | 2 | 5 | 11 |
Los datos están en miles de millones de ptas. Si la demanda final pasa a ser de 9 para A y de 4 para B, ¿cuáles deben ser las salidas totales de ambos sectores?
