Desigualdades Lineales

Desigualdades Lineales
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son . Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver las siguientes desigualdades:
Ejemplo 1) Resolver: 3 > x - 8.
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3 > x - 8
3 + 8 > x - 8 + 8
11 > x
x < 11
El conjunto solución es: (-∞, 11).
Ejemplo 2) Resolver: 2x-5 < 7

Solución:
2x-5 < 7 desigualdad original
2x-5+5 < 7+5 sumar 5 a ambos miembros
2x < 12 simplificar
½ (2x) < ½ (12) multiplicar a ambos miembros por ½
x < 6 simplificar
El conjunto solución es: (-∞, 6).

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.
Ejemplo 3)

Ejemplo 4) Resolver: -3 ≤ 2-5x ≤ 12

Solución:
-3 ≤ 2-5x ≤ 12 Desigualdad original
-3-2 ≤ 2-5x-2 ≤ 12-2 restar 2
-5 ≤ -5x ≤ 10 Simplificar
- (1/5) (-5) ≥ - (1/5) (-5x) ≥ - (1/5) (10) Multiplicar a ambos miembros por –(1/5) e invertir ambas . desigualdades.
1 ≥ x ≥ -2 Simplificar
El conjunto solución es [-2,1].

Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones (Valor Absoluto)
Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa.
Ejemplo 5) Resolver | 10x - 2| 9
• 10x - 2 -9
10x -9 +2
10x -7
10x/10 -7/10
x -7/10

• 10x - 2 9
10x 9 + 2
10x 11
10x/10 11/10
x 11/10
Ejemplo 6) Resolver: | x-3 | ≤ 2
Solución: usando la segunda propiedad de las desigualdades y los valores absolutos , puede describirse la desigualdad original como la desigualdad doble.
-2 ≤ x - 3 ≤ 2 Escribir como desigualdad doble
-2 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 2 + 3 Sumar 3
1 ≤ x ≤ 5 Simplificar
El conjunto solución de la desigualdad original es [1,5].



Desigualdades Cuadráticas
Ejemplo 7) Resolver: x2 < x+6

Solución:
x2 < x + 6 Desigualdad original
x2 - x - 6 < 0 Escribir en forma usual
(x – 3)(x + 2) < 0 Factorizar
El polinomio x2 - x - 6 tiene los ceros x = -2 y x = 3, por tanto tiene los intervalos prueba (-∞,-2),(-2,3) y (3,∞).
La solución de la desigualdad original es (-2, 3).