martes, 9 de septiembre de 2008

Sistema lineal de ecuaciones

En matematicas y algebre lineal, un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programacion lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de analisis numerico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como:

\begin{matrix} a_{11}x_1 +& a_{12}x_2 +& \dots +& a_{1n}x_n =& b_1 \\ a_{21}x_1 +& a_{22}x_2 +& \dots +& a_{2n}x_n =& b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{m1}x_1 +& a_{m2}x_2 +& \dots +& a_{mn}x_n =& b_m \end{matrix}

Donde x_1,\dots,x_n\, son las incógnitas y los números a_{ij}\in\mathbb{K} son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo \mathbb{K}\ [= \R, \mathbb{C}, \dots]. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

(1) \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

\mathbf{Ax} = \mathbf{b}

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

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